Calculatrice en ligne: Equation cubique

Equation cubique

Solution d'une équation cubique en utilisant les relations de Viète. Créée suite à la demande d'un utilisateur

Cette page existe grâce aux efforts des personnes suivantes :

	Timur Article : Equation cubique - Auteur Calculatrice : Equation cubique - Auteur
GM	Gaulthier Marrel Article : Equation cubique - Traducteur en - fr Calculatrice : Equation cubique - Éditeur
A	Anton Calculatrice : Equation cubique - Traducteur en - fr

Créé: 2017-12-08 02:59:03, Dernière mise à jour: 2020-11-03 14:19:34

La forme canonique d'une équation cubique est
$ax^3+bx^2+cx+d=0$

Les relations de Viète sont utilisées pour résoudre les équations sous la forme
$x^3+ax^2+bx+c=0$
Ainsi, la première étape est de diviser tous les coefficients par "a".

Voici le calculateur, puis la description des calculs utilisant les relations de Viète sont ci-après :

Equation cubique

Coefficient a

Coefficient b

Coefficient c

Coefficient d

Montrer les détails

Précision de calcul

Chiffres après la virgule décimale : 2

Le seul endroit où j'ai pu trouver les relations de Viète adaptées aux équations cubiques est ici

Tout d'abord nous calculons
$Q=\frac{a^2-3b}{9}$
$R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}$

Puis
$S=Q^3-R^2$

Si S > 0, alors
$\phi = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)$
et nous avons trois racines rélles :

$x_1=-2\sqrt{Q}\cos(\phi)-\frac{a}{3}$
$x_2=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi+\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}$
$x_3=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi-\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}$

Si S < 0, les fonctions trigonométriques sont remplacés par des fonctions hyperboliques. En fonction du signe de Q

Q > 0 :
$\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arch}\left(\frac{|R|}{\sqrt{Q^3}}\right)$
$x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3}$
(racine réelle)
$x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3}\sqrt{Q}\,\operatorname{sh}(\phi)$
(deux racines complexes)

Q < 0 :

$\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arsh}\left(\frac{|R|}{\sqrt{|Q|^3}}\right)$
$x_1=-2sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3}$
(racine réelle)
$x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3} \sqrt{|Q|}\,\operatorname{ch}(\phi)$
(deux racines complexes)