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Equations diophantiennes linéaires

Ce calculateur résout les Equations diophantiennes linéaires.

Comme d'habitude, voici le calculateur et la théorie est en-dessous.

PLANETCALC, Equations diophantiennes linéaires

Equations diophantiennes linéaires

Equation
 
Toutes les solutions pour x
 
Toutes les solutions pour y
 
x
 
y
 

Puisqu'il s'agit uniquement de math, j'ai copié une partie du contenu depuis wikipédia pour commencer.

En mathématiques, une équation diophantienne est une équation polynomiale avec deux inconnues ou plus telle que seul les solutions entières soient cherchées ou étudiées (une solution entière est une solution telle que toutes les inconnues prennent des valeurs entières). Une équation diophantienne linéaire est une équation entre deux sommes de monômes de degrés zéro ou un.

L'équation diophantienne linéaire la plus simple a la forme

ax + by = c,

où a, b and c sont des entiers donnés, x, y — les inconnues.

Les solutions sont complètement décrites par le théorème suivant : Cette équation diophantienne a une solution (où x et y sont des entiers) si et seulement si c est un multiple du plus grand diviseur commun de a et b. De plus, si (x,y) est une solution, alors les autres solutions ont la forme (x + kv, y - ku), où k est un entier arbitraire et et et v sont les quotients de a et b (respectivement) par le plus grand diviseur commun de a et b.

Pour trouver les solutions, on peut utiliser l'Algorithme d'Euclide étendu (sauf pour a = b = 0 où il y a soit un nombre infini de solutions soit aucune).

Si a et b sont des entiers positifs, nous pouvons trouver leur PGDC g en utilisant l'Algorithme d'Euclide étendu, ainsi que x_g и y_g, donc :

ax_g + by_g = g.

Si c est un multiple de g, l'équation diophantienne ax + by = c a une solution sinon, il n'y a aucune solution.

C'est, si c est un multiple de g, alors

a x_g (\frac{c}{g}) + b y_g (\frac{c}{g})=c

et l'une des solutions possibles est :

x_0 = x_g (\frac{c}{g})

y_0 = y_g(\frac{c}{g})

Si soit a, soit b est négatif, nous pouvons résoudre l'équation en utilisant son module, puis en modifiant le signe en conséquence.

Si nous connaissons l'une des solutions, nous pouvons trouver leur forme générale.

Si g = GCD(a,b), et nous avons :

ax_0 + by_0 = c.

En ajoutant \frac{b}{g} to x_0 et en soustrayant \frac{a}{g} à y_0, nous obtenons :

a(x_0 + \frac{b}{g}) + b(y_0 - \frac{a}{g}) = ax_0+by_0 + \frac{ab}{g}-\frac{ba}{g}=c

Donc, tout nombre comme ceux-ci :
x = x_0 + k \frac{b}{g}

y = y_0 - k \frac{a}{g},

où k est un entier, sont des solutions de l'équation diophantienne linéaire.

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