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Equation cubique

Solution d'une équation cubique en utilisant les relations de Viète. Créée suite à la demande d'un utilisateur

La forme canonique d'une équation cubique est
ax^3+bx^2+cx+d=0

Les relations de Viète sont utilisées pour résoudre les équations sous la forme
x^3+ax^2+bx+c=0
Ainsi, la première étape est de diviser tous les coefficients par "a".

Voici le calculateur, puis la description des calculs utilisant les relations de Viète sont ci-après :

PLANETCALC, Equation cubique

Equation cubique

Chiffres après la virgule décimale : 2
x1
 
x2
 
x3
 
Q
 
R
 
S
 

Le seul endroit où j'ai pu trouver les relations de Viète adaptées aux équations cubiques est ici

Tout d'abord nous calculons
Q=\frac{a^2-3b}{9}R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}

Puis
S=Q^3-R^2

Si S > 0, alors
\phi = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)
et nous avons trois racines rélles :

x_1=-2\sqrt{Q}\cos(\phi)-\frac{a}{3}x_2=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi+\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}x_3=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi-\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}

Si S < 0, les fonctions trigonométriques sont remplacés par des fonctions hyperboliques. En fonction du signe de Q

Q > 0 :
\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arch}\left(\frac{|R|}{\sqrt{Q^3}}\right)x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3}
(racine réelle)
x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3}\sqrt{Q}\,\operatorname{sh}(\phi)
(deux racines complexes)

Q < 0 :

\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arsh}\left(\frac{|R|}{\sqrt{|Q|^3}}\right)x_1=-2sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3}
(racine réelle)
x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3} \sqrt{|Q|}\,\operatorname{ch}(\phi)
(deux racines complexes)

Si S = 0, alors c'est une équation simple et elle a uniquement deux racines :

x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=-2\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}x_2=sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}

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