Calculatrice en ligne: Méthodes explicites de Runge-Kutta

Les méthodes Runge–Kutta sont les méthodes pour les solutions numériques des équations différentielles ordinaires (différentiation numérique). Les méthodes commencent à partir d'un point initial et font ensuite un petit pas pour trouver le point solution suivant. Vous pouvez trouver ici l'implémentation en ligne de 11 méthodes explicites de Runge-Kutta listées, dont la méthode d'Euler avancée, la Méthode du point médian et la Méthode RK4 classique.

Pour utiliser le calculateur, vous devez avoir une équation différentielle de la forme $y \prime = f(x,y)$ et saisir le côté droit de l'équation - $f(x,y)$ dans le champ $y \prime$ ci-dessous.
Vous avez également besoin de la valeur initiale pour $y(x_0)=y_0$ et du point $x$ pour lequel vous voulez approximer la valeur $y$ .
Le dernier paramètre de la méthode - un taille de pas - est littéralement le pas pour calculer la prochaine approximation de la courbe de la fonction. Si vous connaissez la solution exacte, vous pouvez également la saisir, et le calculateur calculera une erreur absolue pour chaque méthode.

Vous pouvez trouver de la théorie en dessous du calculateur.

Méthodes explicites de Runge-Kutta

x initial

y initial

Point d'approximation

Taille du pas

Solution exacte (optionnelle)

Précision de calcul

Chiffres après la virgule décimale : 6

Equation différentielle

Solution exacte

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Méthodes explicites de Runge–Kutta

La forme générale de la méthode explicite de Runge-Kutta est
$y_{n+1}=y_n+h \sum_{i=1}^s b_i k_i$
où
$k_i=f(x_n+c_i h, y_n+h\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}k_j)$

Une méthode particulière est spécifiée en fournissant l'entier s (le nombre d'étapes) et les coefficients $a_{ij}$ (for 1 ≤ j < i ≤ s), appelés la matrice de Runge-Kutta, $b_i$ (pour i = 1, 2, ..., s), appelés poids, et $c_i$ (for i = 2, 3, ..., s), appelés nœuds. Les coefficients sont généralement organisés dans une forme ménmonique, connue comme un tableau de Butcher (d'après John C. Butcher) :

$\begin{array}{c|cccc}c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\\hline& b_1 & b_2 & \dots & b_s\\\end{array}$

Voici quelques exemples d'un tableau de Butcher avec s respectivement égale à 1, 2, 3 et 4 :

Méthode d'Euler avancé

$\begin{array}{c|c}0 & 0 \\\hline& 1 \\\end{array}$

Méthode explicite du point médian

$\begin{array}{c|cc}0 & 0 & 0 \\1/2 & 1/2 & 0 \\\hline& 0 & 1 \\\end{array}$

Runge-Kutta à stabilité élevée de troisième ordre (SSPRK3)

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1&1&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\\hline &1/6&1/6&2/3\\\end{array}}$

Méthode RK4

$\begin{array}{c|cccc}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0\\1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\hline& 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6\\\end{array}$

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