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Méthode d'itération du point fixe

Ce calculateur en ligne calcule les points fixes de fonctions itérées en utilisant la méthode d'itération du point fixe (méthode d'approximations successives)

En analyse numérique, l'itération du point fixe est une méthode de calcul des points fixes d'une fonction itérée.

Plus spécifiquement, suivant une fonction f définie dans l'intervalle réel avec des valeurs réelles et un point donné x_0 dans l'intervalle de f, l'itération du point fixe est

x_{n+1}=f(x_n), \, n=0, 1, 2, \dots

qui donne la croissance de la séquence x_0, x_1, x_2, \dots qui est censée converger vers un point x. Si f est continue, alors il peut être prouvé que le x obtenu est un point fixe de f, soit, f(x)=x.

Source

En fait, cette méthode est un genre de méthode d'approximations successives, la méthode de résolution des problèmes mathématiques au moyen d'une séquence d'approximations qui converge vers la solution et qui est construite de manière récursive - soit, chaque nouvelle approximation est calculée sur la base de l'approximation précédente ; le choix de l'approximation initiale est, jusqu'à un certain point, arbitraire. La méthode est utilisée pour approximer les racines des équations algébriques et transcendantes. Elle est également utilisée pour prouver l'existence d'une solution et pour approximer les solutions des équations différentielles, intégrales et intégro-différentielles.

L'utilisation de cette méthode est assez simple :

  • considérer une valeur approximative de la variable (valeur initiale)
  • résoudre la variable
  • utiliser la réponse comme deuxième valeur approximative et résoudre à nouveau l'équation
  • répéter le processus jusqu'à ce que la précision voulue pour la variable soit atteinte

C'est exactement que ce que le calculateur ci-dessous fait. Il fait des calculs itératifs de x suivant la formule donnée et s'arrête lorsque deux valeurs successives diffèrent moins que la précision donnée.

Il est également intéressant de mentionner que la fonction utilisée en exemple, soit
x=\frac{1}{2}(\frac{a}{x}+x),
est la fonction itérée pour calculer la racine carrée de a. C'est peut-être le premier algorithme utilisé pour approximer la racine carrée et elle est connue comme la "Méthode Babylonienne", nommée après les Babyloniens, ou "Méthode de Hero", nommée après le mathématicien grecque du premier siècle, Hero d’Alexandrie qui a donné la première description explicite de la méthode.

PLANETCALC, Méthode d'itération du point fixe

Méthode d'itération du point fixe

Les approximations cessent lorsque la différence entre deux valeurs successives de x est inférieure au pourcentage spécifié
Chiffres après la virgule décimale : 5
Formule
 
 
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