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Méthode de la bissection

En mathématiques, la méthode de la bissection est une méthode de recherche des racines qui divise plusieurs fois un intervalle puis sélectionne un sous-intervalle dans lequel la racine doit se trouver pour un traitement plus poussé. La méthode est également appelée la méthode de la moitié d’intervalle.

C'est un calculateur qui trouve la racine d'une fonction en utilisant la méthode de la bissection ou méthode de la moitié d’intervalle.. Une description brève de la méthode est disponible sous le calculateur

PLANETCALC, Méthode de la bissection

Méthode de la bissection

Chiffres après la virgule décimale : 4
Formule
 
x
 

Méthode de dichotomie

Cette méthode est basée sur le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions continues, qui dit que toute fonction continue f( x) sur l'intervalle [a,b] qui satisfait f (a) * f (b) < 0 doit avoir un zéro dans l'intervalle [a,b].
Les méthodes qui utilisent ce théorèmes sont appelées méthodes de dichotomie car elles divisent l'intervalle en deux parties (pas forcément égale).

Ici, nous avons déjà Méthode de la fausse position et Méthode de la sécante, il est désormais temps pour la méthode la plus simple - méthode de la bissection ou de la moitié d’intervalle. Comme vous pouvez le deviner de par son nom, cette méthode utilise la division d'intervalle en deux parties égales.
En utilisant la relation

x_{n+1} = \frac{x_n+x_{n-1}}{2}

l'intervalle [x_{n-1},x_n] est remplacé soit par [x_{n-1},x_{n+1}] ou par [x_{n+1},x_n] suivant le signe de f(x_{n-1}) * f (x_{n+1}). Ce processus est répété jusqu'à ce que le zéro soit obtenu. Comme le zéro est obtenu numériquement, la valeur de c peut ne pas correspondre exactement à toutes les positions décimales de la solution analytique de f(x) = 0 in the given interval. En conséquence, les mécanismes suivant peuvent être utilisé pour arrêter les itérations de la bissection :

f(x_k)< \epsilon — la valeur de la fonction est inférieure à ε.

\left|x_k-x_{k-1}\right| < \epsilon — la différence entre deux sous-séquences хk est inférieure à ε. Notez que comme l'intervalle est divisé en deux à chaque étape, plutôt que de faire ceci, vous pouvez calculer le nombre d'itérations nécessaires.

L'erreur absolue est divisée à chaque étape ainsi la méthode converge linéairement, ce qui est en comparaison plus lent.

Comme on peut le voir à partir de la relation de récurrence, la méthode de la position nécessite deux valeurs initiales, x0 et x1, qui encadrent la racine.

Plus : Méthode de la bissection

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