Le nombre rationnel comme une fraction

Lorsque vous commencer à découvrir les séquences géométriques, vous pouvez rencontrer un problème formuler ainsi :

Ecrivez le nombre rationnel 0,58333... comme le ratio de deux entiers.

Bien sûr, dans ce problème exemple, nous devons en fait convertir une décimale répétitive en une fraction. En effet, la solution de ce problème nécessite la formule pour les suites géométriques infinies. Ce calculateur utilise cette formule pour trouver le numérateur et le dénominateur pour une décimale répétitive donnée. La solution et les formules sont décrites en-dessous du calculateur.

Notez que dans le problème ci-dessus, la décimale périodique est représentée informellement (trois points, ...). En fait, il y a plusieurs conventions de notation pour représenter des décimales périodiques, mais aucune d'entre elles n'est acceptée universellement.Par exemple, aux USA, la notation est une ligne horizontale (un vinculum) au-dessus des chiffres répétés, et dans certaines parties de l'Europe, la notation est d'encadrer les chiffres répétés entre parenthèses. Le calculateur prend en charge les deux manières de saisir la décimale répétitive : 0,58333... et 0,58(3)

Le nombre rationnel comme ratio de deux entiers

Le nombre rationnel

Le ratio de deux entiers

 

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Décimale périodique

Pour citer Wikipédia¹, une décimale récurrente ou périodique est une représentation décimale d'un nombre dont les chiffres sont périodiques (répétant sa valeur à intervalles réguliers) et la portion infiniment répétée n'est pas nulle. La séquence de chiffres infiniment répétée est appelée période ou tranche récurrente. Si la période est nulle, cette représentation décimale est appelée une décimale finie plutôt qu'une décimale périodique. Il peut être montré qu'un nombre est rationnel si et seulement si sa représentation décimale est périodique ou finie (soit tous les chiffres finis sont nuls). Et, par définition, un nombre rationnel est n'importe quel nombre pouvant s'exprimer sous la forme d'un quotient ou d'une fraction p/q de deux entier, un numérateur p et un dénominateur non nul q.

Si nous avons une décimale finie, nous pouvons utiliser Convertisseur de fraction en décimale et de décimale en fraction. Dans le cas d'une décimale périodique, le calcul devient un peu plus compliqué. Et ici nous avons la suite géométrique pour aider. Utilisons l'exemple ci-dessus et convertissons le nombre rationnel (nous savons qu'il est rationnelle puisque sa représentation décimale est périodique) 0,58333... en une fraction en utilisant nos connaissances sur les suites géométriques.

Présentons notre nombre rationnel ainsi :

Les nombres , etc. peuvent être vue comme les termes d'une suite géométrique , où le premier terme est 0,003 et la raison est 0,1.

En effet, selon la formule du n-ième terme de la suite géométrique :, nous avons

Notez que ceux sont les termes d'une série géométrique infinie qui converge, car la valeur absolue de la raison est inférieure à un. La formule de la somme pour une série infinie convergente est

Ainsi, pour notre problème, nous avons

Et finalement,

Nous pouvons ajouter puis simplifier, sachant que le plus petit multiple commun de 50 et de 300 est 300 et que le plus grand diviseur commun de 175 et 300 est 25