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Intégration numérique

Pour calculer l’intégrale définie par la méthode rectangulaire, trapézoïdale, de Simpson ou autres méthodes de quadrature de Newton-Cote

Les méthodes numériques peuvent être utilisées pour définir la valeur approximative de l’intégrale. L’intégration numérique est utilisée lorsqu’il est impossible d’évaluer la primitive de manière analytique puis de calculer l’intégrale définie en utilisant l’axiome de Newton–Leibniz.

L’intégration numérique d’une fonction à un seul argument peut être représenté comme le calcul de la surface (ou quadrature) d’un trapézoïde curvilinéaire délimité par le graphique de la fonction donnée, l’axe X et les lignes verticales restreignant les limites données.
La fonction à intégrer est remplacée par une fonction plus simple (qui a une primitive) qui l’estime avec une précision donnée. Le remplacement de la fonction à intégrer par les polynômes de Lagrange évalués à des points à espace régulier dans les limites données produit la formule d’intégration de Newton-Cotes, telle que :

  1. Règle rectangulaire
  2. Règle trapézoïdale
  3. Règles de Simpson

PLANETCALC, Intégration numérique en utilisant la formule de Newton-Cotes

Intégration numérique en utilisant la formule de Newton-Cotes

Chiffres après la virgule décimale : 6
Formule
 
Valeur définie de l'intégrale
 
Fonction de quadrature
 
Erreur de méthode
 
Intervalle
 
Aperçu géométrique de l'intégrale
Source de la formule
 

Intégration numérique en utilisant les formules de Newton-Cotes

En utilisant les formules de Newton-Cotes, les intervalles d’intégrations sont divisés par points x1,x2,x3..xn en des segments égaux.
La fonction à intégrer est remplacée par les polynômes de Lagrange de différents degrés, intégration qui produit les formules d’intégration numériques avec différents degrés de précision.

Finalement, l’approximation de l’intégrale définie est évaluée comme la somme pondérée des valeurs de la fonction à intégrer évaluées aux points d’intégration :
I\approx \sum _{{i=1}}^{{n}}{W_i}f(x_{i})+R_n

  • Wi - poids, déterminés par les méthodes d’intégration
  • Rn - reste ou erreur.
  • n – nombre de points d’intégration.
  • La somme de la formule est une règle de quadrature.

Le manuel Fonctions de quadrature Newton-Cotes, contient quelques règles de quadratures Newton-Cotes mentionnées pour l’intégration à des intervalles réguliers. Tous les utilisateurs enregistrés peuvent ajouter une nouvelle règle de quadrature à ce manuel.

Limites des segments d’intégration

En fonction des points finaux utilisés par une méthode d’intégration, on distingue les règles ouverte ou fermée.

Les règles ouvertes n’utilisent pas les points finaux. Les méthodes d’intégration ouvertes peuvent être utilisées lorsque la fonction à intégrer n’est pas définie en certains points.
Ex. l’utilisation de la méthode rectangulaire nous permet d’estimer la valeur définie de l’intégrale In(x) sur le segment (0,1) bien que In(0) ne soit pas définie.

Au contraire, les règles fermées utilisent les points finaux ainsi que les points intermédiaires pour évaluer les valeurs de la fonction à intégrer.

Les règles à moitié-ouverts (ex. règle rectangulaire gauche ou règle rectangulaire droite) peuvent également être utilisées pour estimer l’intégrale sur un segment ouvert d’un seul côté.

Erreur d’approximation de la règle de Newton-Cotes

Généralement, en augmentant le nombre de points d’intégration (ce qui accroit le degré polynômial), la précision augmente également. Néanmoins, cela n’est pas le cas pour certaines fonctions.

Le mathématicien allemand Karl Runge a été le premier à analyser cette singularité.
Il a remarqué que l’interpolation polynômial avec des intervalles réguliers pour la fonction \frac{1}{1+25x^2} cesse de converger vers 0,726.. ≤ |x| <1 lorsque le degré polynômial augmente.
Ceci s’explique en observant l’équation d’erreur. La formule inclut l’intervalle h et le factoriel n!, qui accroissent tous deux la précision, si n tend vers l’infini, mais la valeur de la dérivé au degré n, qui réduit la précision dans l’équation d’erreur, augmente pour certaines fonctions particulières.

De plus, en augmentant le degré polynômial d’intégration, nous obtenons des poids négatifs, qui font augmenter les erreurs de calcul. Le calculateur affiche les résultats intermédiaires de la fonction de quadrature sous une forme graphique. Pour les méthodes n’ayant que des poids Wi positifs, le graphique ressemble à la représentation de la somme de Riemann. Si des poids Wi n&gatifs existent, le graphique a des moitiés positives et négatives qui sont plus importantes que les intervalles d’intégration. Cet effet est visible ici :
Règle de Newton-Cotes fermée avec 11 nœuds

En tenant compte de cet argument, il n’est pas recommandé d’utiliser les règles avec des degrés polynômiaux >10.

Pour accroître la précision, les intervalles d’intégration peuvent être divisés en plusieurs parties, pour lesquelles l’intégrale définie peut être calculée séparément avec n’importe quelle règle d’intégration. La valeur finale de l’intégrale est la somme des intégrales sur chaque intervalle partiel.

Pour évaluer une nouvelle méthode d’intégration basée sur des intervalles réguliers, vous pouvez utiliser le calculateur suivant avec une boîte de saisie pour les poids :

PLANETCALC, Intégration numérique avec les coefficients explicites de la formule de Newton-Cotes

Intégration numérique avec les coefficients explicites de la formule de Newton-Cotes

Tous les poids doivent être séparés par des virgules. Unpoids est un nombre réel ou une fraction simple sous la forme : n/d où n - numérateur, d - dénominateur. Le premier poids est un multiplicateur commun. Fixer le à 1 s'il n'y a pas de multiplicateur commun.
Chiffres après la virgule décimale : 6
Valeur définie de l'intégrale
 
Formule
 
Fonction de quadrature
 
Aperçu géométrique de l'intégrale

Les poids sont des nombres réels ou des fractions communes séparés par des virgules. Le premier coefficient de la liste de poids est un multiplicateur commun, saisissez 1 ici si il n’y a aucun multiplicateur commun.

Ex. Les poids 3/8,1,3,3,1 peuvent être utilisés pour [[calculatorparameters:weights=3/8,1,3,3,1|Règle de Simpson des 3/8]

L’estimation de l’intégrale définie avec les règles d’intégration de Newton-Cotes est loin d’être idéale. Pour de véritables applications, vous devriez utiliser de meilleures méthodes, telles que la règle de Gauss-Kronrod. Heureusement, nous l’illustrerons dans des nouveaux calculateurs et articles dans un futur proche.


Littérature :

  1. N.S. Bakhvalov méthodes numériques, 2012
  2. U.G.Pirumov méthodes numériques, 2006
  3. D. Kahaner, C.Moler, S.Nash méthodes numériques et logiciels, 1989
  4. R.V. Hamming Méthodes numériques pour les scientifiques et les ingénieurs, 1972
  5. M. Abramovitz и I. Stegun Manuel des fonctions mathématiques avec les formules, graphiques et tableaux mathématiques, 1973
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