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Méthode de newton

Ce calculateur en ligne implémente la méthode de newton (également connue comme la méthode de Newton-Raphson) pour trouver les racines (ou zéros) d'une fonction à valeur réelle.

Ce calculateur en ligne implémente la méthode de newton (également connue comme la méthode de Newton-Raphson) en utilisant le calculateur de dérivées pour obtenir la forme analytique de la dérivée de la fonction donnée, car cette méthode en a besoin. Certaines théories pour revoir la méthode basique sont disponibles sous le calculateur.

PLANETCALC, Méthode newton

Méthode newton

Chiffres après la virgule décimale : 4
Fonction
 
Dérivée
 
x
 

Méthode de Newton–Raphson1

Dans les analyses numériques, la méthode de Newton (également connue comme la méthode de Newton-Raphson), nommée après Isaac Newton et Joseph Raphson, est une méthode pour trouver les meilleures approximations successives des racines (ou zéros) d'une fonction à valeur réelle.

La méthode comment avec une fonction f définie selon le nombre réel x, la dérivée de la fonction f' et une estimation initiale de x0 comme racine de la fonction f. Si la fonction répond à l'hypothèse faite dans la dérivation de la formule et si l'estimation initiale est proche, alors une meilleure approximation x1 est x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}

Géométriquement, (x1, 0) est l'intersection de l'axe X et de la tangente du graphique de f à (x0, f(x0)).

Le procédé est répété comme x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}, jusqu'à ce qu'une valeur suffisamment précise soit atteinte.

Animation de la méthode de Newton par Ralf Pfeifer (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NewtonIteration_Ani.gif)
Animation de la méthode de Newton par Ralf Pfeifer (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NewtonIteration_Ani.gif)

L'idée de la méthode est la suivante : on commence avec une estimation initiale assez proche de la véritable racine puis la fonction est approximée par la tangente (qui peut être calculée en utilisant des outils de calcul), et on calcul l'intersection x avec cette tangente (facilement faisable avec de l'algèbre élémentaire). Cette intersection x sera généralement une meilleure estimation de la racine de la fonction comparé à la méthode initiale, et la méthode peut être réitérée.

La méthode de Newton est une technique très puissant - en général la convergence est quadratique : comme la méthode converge vers la racine, la différence entre la racine et l'approximation est élevée au carré (le nombre de chiffres de précision doubles) à chaque étape. Cependant, cette méthode présente certaines difficultés : difficulté de calcul de la dérivée de la fonction, échec de la méthode pour converger vers la racine, si l'estimation faite dans la preuve de la convergence quadratique de la méthode de Newton n'est pas suffisante, convergence lente pour des racines multiples.

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