Calculatrice en ligne: Méthode du point médian

Vous pouvez utiliser ce calculateur pour résoudre une équation différentielle du premier degré avec une valeur initiale donnée en utilisant la méthode du point médian explicite dite Méthode d'Euler modifiée.

Pour utiliser cette méthode, vous devez avoir une équation différentielle de la forme
$y \prime = f(x,y)$
et saisir le côté droit de l'équation f(x,y) dans le champ y' ci-dessous.

Vous avez également besoin de la valeur initiale comme
$y(x_0)=y_0$
et le point $x$ pour lequel vous voulez approximer la valeur $y$ .

Le dernier paramètre de la méthode - une taille de pas, est littéralement le pas le long de la tangente pour calculer la prochaine approximation de la courbe de la fonction.

Si vous connaissez la solution exacte d'une équation différentielle de la forme y=f(x), vous pouvez également la saisir. Dans ce cas, le calculateur trace également la solution ainsi que l'approximation sur le graphique et calcule l'erreur absolue pour chaque pas de l'approximation.

L'explication de la méthode est disponible sous le calculateur.

Méthode du point médian

x initial

y initial

Point d'approximation

Taille du pas

Solution exacte (optionnelle)

Précision de calcul

Chiffres après la virgule décimale : 2

Equation différentielle

Valeur approximative de y

Approximation

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Méthode du point médian

Comme pour la Méthode d'Euler, nous utilisons la relation
$y_{i+1}=y_i + f \Delta x$

mais calculons f différemment.Plutôt que d'utiliser la tangente au point actuel pour avancer vers le point suivant, nous utilisons la tangente au point médian, qui approxime la valeur de la dérivé au point médian entre le point actuel et le point suivant. Pour faire cela, nous approximons la valeur y au point médian comme
$y_n+\frac{\Delta x}{2}f(x_n, y_n)$

Et notre relation change de
$y_{i+1}=y_i + f(x_i,y_i) \Delta x$

$y_{i+1}=y_i + f(x_i+\frac{\Delta x}{2}, y_i+\frac{\Delta x}{2}f(x_i, y_i)) \Delta x$

L'erreur locale à chaque pas de la méthode du point médian est de l'ordre de $O\left(h^3\right)$ , donnant une erreur globale de l'ordre de $O\left(h^2\right)$ . Ainsi, alors qu'ayant des calculs plus intensifs que la méthode d'Euler, l'erreur de la méthode du point médian décroit plus vite comme $h \to 0$ .¹