Calculatrice en ligne: Calculateur des valeurs propres

Ce calculateur en ligne calcule les valeurs propres d'une matrice carrée de degré 4 au plus en résolvant l'équation caractéristique. L'équation caractéristique est une équation obtenue en égalisant le polynôme caractéristique à zéro. Ainsi, ce calculateur obtient l'équation caractéristique en utilisant le calculateur Polynôme caractéristique puis la résout analytiquement pour obtenir les valeurs propres (soit réelles, soit complexes). Il réalise cela pour des matrices 2x2, 3x3, et 4x4, en utilisant les calculateurs Solution de l'équation quadratique, Equation cubique et Solution de l'équation quartique. Ainsi, il peut trouver les valeurs propres d'une matrice de degré 4 au plus.

Il est très peu probable que vous ayez une matrice de degré supérieur dans des problèmes mathématiques, car selon le théorème d''Abel–Ruffini theorem, une équation de polynôme général de degré 5 ou plus n'a pas de solution avec des radicaux, ainsi elle peut uniquement être résolue par des méthodes numériques. (Notez que le degré d'un polynôme caractéristique est le degré de la matrice carrée). Plus de théorie est disponible en-dessous du calculateur.

Calculateur des valeurs propres

Matrice carrée

Précision de calcul

Chiffres après la virgule décimale : 2

Equation caractéristique

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Valeurs propres

Il faut mieux expliquer les valeurs propres avec les vecteurs propres. Supposons que nous avons une matrice carrée A. Cette matrice définit la transformation linéaire qui est que si nous multiplions un vecteur par A, nous obtenons un nouveau vecteur qui change de direction :

$Av=b$ .

Cependant, il y a des vecteurs pour lesquels la transformation produit un vecteur parallèle au vecteur d'origine. En d'autres termes :

$Av=\lambda v$ ,

where $\lambda$ est un nombre scalaire

Ces vecteurs sont les vecteurs propres de A, et ces nombres sont les valeurs propres de A.

Cette équation peut être réécrite comme

$Av-\lambda v=0 \\ (A-\lambda I)v=0$

où I est la matrice identité.

Comme v est non nul, la matrice $A - \lambda I$ est singulière, ce qui signifie que son déterminant est nul.

$det(A-\lambda I)=0$ est l'équation caractéristique de A, et la partie gauche est appelée polynôme caractéristique de A.

Les racines de cette équation sont les valeurs propres de A, également appelées valeurs caractéristiques ou racines caractéristiques.

L'équation caractéristique de A est une équation polynomiale, et pour obtenir les coefficients polynomiaux, vous devez élargir le déterminant de la matrice

$\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda&\dots &a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}-\lambda\end{bmatrix}$

Pour une matrice 2x2, nous avons une formule simple :

$\lambda^2-trA \lambda+detA=0$ ,

où trA est la trace de A (somme de ces éléments diagonaux) et detA est le déterminant de A. Ainsi,

$\lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})=0$ ,

Pour les autres cas, vous pouvez utiliser l'algorithme de Faddeev–LeVerrier comme cela est fait dans le calculateur Polynôme caractéristique.

Une fois que vous avez l'équation caractéristique sous la forme d'un polynôme, vous pouvez la résoudre pour les valeurs propres. Et vous pouvez trouver ici une très bonne introduction de pourquoi chercher les valeurs propres et les vecteurs propres et pour lesquelles ils sont très important en algèbre linéaire.

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