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Polynôme caractéristique

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Ce calculateur en ligne calcule les coefficients du polynôme caractéristique d'une matrice carrée en utilisant l'algorithme de Faddeev–LeVerrier

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Créé: 2021-12-17 05:14:34, Dernière mise à jour: 2021-12-17 05:14:34

En algèbre linéaire, le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A _n×n est un polynôme qui est invariant dans une matrice similaire et a des valeurs propres comme racines. Le polynôme pA(λ) est monique (son coefficient directeur est 1), et son degré est n. Le calculateur ci-dessous calcule les coefficients d'un polynôme caractéristique d'une matrice carrée en utilisant l'algorithme de Faddeev–LeVerrier. Vous pouvez trouver la théorie et les formules en-dessous du calculateur.

PLANETCALC, Polynôme caractéristique

Polynôme caractéristique

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Polynôme caractéristique
 
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Polynôme caractéristique

Pour une matrice A donnée, nous voulons trouver un polynôme dont les zéros sont les valeurs propres de A. Pour une matrice diagonale A, le polynôme caractéristique est facile à définir ; si les entrées de la diagonale sont a1, a2, a3, etc., alors le polynôme caractéristique sera :

(t-a_1)(t-a_2)(t-a_3)\cdots,

Ceci fonctionne car les entrées diagonales sont également les valeurs propres de cette matrice.

Pour une matrice générale A, on peut procéder comme suit. Un produit scalaire λ est une valeur propre de A si et seulement s'il existe un vecteur propre v ≠ 0 tel que

A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},

ou

(\lambda I - A)\mathbf{v} = 0\,

(où I est l'identité de la matrice).

Comme v est non nul, la matrice λ I − A est singulière (non-inversible), ce qui signifie que son déterminant est 0. Ainsi, les racines de la fonction det(λ I − A) sont les valeurs propres de A, et il est clair que ce déterminant est un polynôme dans λ.1

En forme matricielle, un polynôme dans λ ressemble à ceci :

p(\lambda)=det \begin{bmatrix}\lambda - a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&\lambda - a_{22}&\dots &a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &\lambda - a_{nn}\end{bmatrix}

En forme scalaire

p(\lambda )\equiv \det(\lambda I_{n}-A)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}~,

où, cn = 1 and c0 = (−1)n det A.

Les coefficients peuvent être trouvés en utilisant l'algorithme récursif de Faddeev–LeVerrier algorithm (publié pour la première fois en 1840 par Urbain Le Verrier, et redéveloppé dans sa forme actuelle par Dmitry Konstantinovich Faddeev et d'autres).

Algorithme de Faddeev–LeVerrier

Les coefficients du polynôme caractéristiques sont déterminés récursivement de haut en bas, à partir des matrices auxiliaires M2,

{\begin{aligned}M_{0}&\equiv 0&c_{n}&=1\qquad &(k=0)\\M_{k}&\equiv AM_{k-1}+c_{n-k+1}I\qquad \qquad &c_{n-k}&=-{\frac {1}{k}}\mathrm {tr} (AM_{k})\qquad &k=1,\ldots ,n~.\end{aligned}}

Ainsi,

{\displaystyle M_{1}=I~, \quad c_{n-1}=-\mathrm {tr} A=-c_{n}\mathrm {tr} A;} \\{\displaystyle M_{2}=A-I\mathrm {tr} A, \\ \quad c_{n-2}=-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}\mathrm {tr} A^{2}-(\mathrm {tr} A)^{2}{\Bigr )}=-{\frac {1}{2}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-1}\mathrm {tr} A);} \\{\displaystyle M_{3}=A^{2}-A\mathrm {tr} A-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}\mathrm {tr} A^{2}-(\mathrm {tr} A)^{2}{\Bigr )}I,} \\{\displaystyle c_{n-3}=-{\tfrac {1}{6}}{\Bigl (}(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}){\Bigr )}=-{\frac {1}{3}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{3}+c_{n-1}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-2}\mathrm {tr} A);}

etc.,

{\displaystyle M_{m}=\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}A^{k-1}~,} \\{\displaystyle c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{m}+c_{n-1}\mathrm {tr} A^{m-1}+...+c_{n-m+1}\mathrm {tr} A)=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\mathrm {tr} A^{k}~;...}

Le calculateur utilise cet algorithme pour calculer les coefficients. Il peut également donné la matrice auxiliaire M pour chaque étape

  1. Wikipédia - Polynôme caractéristique ↩

  2. Wikipédia - Algorithme de Faddeev–LeVerrier ↩

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