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En algèbre, le discriminant d'un polynôme est la fonction polynomiale de ses coefficients, qui permet de déduire certaines propriétés de ces racines sans les calculer.¹

Vous connaissez probablement la formule très connu du discriminant pour un polynôme quadratique $ax^2+bx+c$ , qui est $b^2-4ac$ et utilise cette formule pour calculer les racines.

Cependant, le discriminant nous permet en fait de déduire certaines propriétés des racines sans les calculer. Dans le cas d'un polynôme quadratique, il est égal à zéro si et seulement si le polynôme u une racine double, il est positif si le polynôme a deux racines réelles et négatif si les racines sont complexes.

Le calculateur ci-dessous calcule le discriminant et vous trouverez un peu plus de théorie concernant les discriminants juste en-dessous de celui-ici.

Le discriminant du polynôme quadratique

Polynôme quadratique

Discriminant

Racines du polynôme

Discriminant

Le discriminant d'un polynôme de degré n : $A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ peut être défini soit en termes de quotient du résultant soit en termes de racines.

En termes de racines, le discriminant est égal à
${Disc}_{x}(A)={a_n}^{2n-2}\prod_{i < j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{{\frac{1}{2}}n(n-1)}{a_n}^{2n-2}\prod_{i\neq j}(r_{i}-r_{j})$

Techniquement, il est possible de dériver la formule d'une équation quadratique sans rien connaître du discriminant. Et ensuite, si vous incluez les expressions dérivées pour les racines dans la définition ci-dessus, vous arriverez à $b^2-4ac$ .

En termes de quotient du résultant, le discriminant est égal à
${Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')$
où Res est le résultant de A et la première dérivée de A'. En résumé, le résultant est le déterminant de la matrice de Sylvester de A et A'.

Dans le cas d'un polynôme quadratique, A est $ax^2+bx+c$ et A' est $2ax+b$ . En effet, si vous écrivez la matrice de Sylvester pour ces deux polynômes et dériver le déterminant, vous arriverez une fois encore à $b^2-4ac$ .

Calcul du discriminant de degrés plus élevés

En utilisant la seconde définition, vous pouvez dériver les formules des polynômes de degrés plus élevés (le lien ci-dessous a la formule pour des degrés 3 et 4) mais elles sont assez complexes.
La séquence OEIS A007878 liste 5 termes pour des polynômes de degré 3, 16 termes pour ceux de degré 4, 59 termes pour ceux de degré 5 et finalement 3815311 termes pour les polynômes de degré 12.
Le calculateur ci-dessous calcule le discriminant de polynômes de degrés plus élevés à partir du résultant d'un polynôme et de sa dérivée.

Discriminant

Coefficients polynomiaux

Coefficients polynomiaux du dividende, séparés par des espaces, triés par niveau de degrés décroissant

Précision de calcul

Exact

Arrondi

Discriminant

Saisie du polynôme

Dérivée du polynôme

Wikipédia : Discriminant ↩

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