Angle de course et distance entre deux points sur le loxodrome (ligne de rhumb)

Calcul d'une distance sur un loxodrome (ligne de rhum) et l'angle de la course (azimuth) entre deux points avec des coordonnées géographiques données.

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Créé: 2021-02-15 03:47:06, Dernière mise à jour: 2021-02-16 02:16:37

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Au 16ème siècle, le géographe flamand Gerhard Mercator a créé une carte de navigation du monde, montrant la surface de la terre sur un plan, afin que les coins ne soient pas déformés sur la carte.
A présent, cette méthode d'image de la Terre est connue comme la projection cylindrique conforme de Mercator. Cette carte était très pratique pour les marins, puisque aller d'un point A à un point B sur la carte de Mercator est suffisant pour tracer une ligne droite entre ces points, mesurer son angle par rapport au méridien et adhérer constamment à cette direction, par exemple en utilisant un sextant et l'étoile polaire comme point de repère, ou en utilisant un compas magnétique (en fait, ce n'est pas si simple avec le compas, puisqu'il ne pointe pas toujours vers le nord véritable).
La projection de Mercator est encore très largement utilisée pour les cartes de navigation.

Bien que les anciens marins aient commencé à remarquer que la ligne de rhumb n'est pas toujours le chemin le plus court entre deux points, et c'est particulièrement évident pour les longues distances, si vous dessinez une droite sur un globe qui passe par tous les méridiens selon le même angle, la raison de cela devient claire. La ligne droite de la carte de Mercator tourne sur le globe en une spirale infinie vers les poles. La droite est appelée loxodrome ce qui signifie "course oblique" en grec.
Le calculateur suivant calcule l'angle de la course et la distance d'une traversée de l'Atlantique de Las Palmas (Espagne) à Bridgetown (Barbados) sur le loxodrome. La distance résultante est différente de dix kilomètres du chemin le plus court (voir Calculateur de distance)

Pour le calcul de l'angle de la course, les formules suivantes sont utilisées :
$\alpha = \arctan \left(\frac{{\Delta}\lambda}{{\ln\left(tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_2}{2})\cdot\left[\frac{1-e\cdot \sin{\varphi_2}}{1+e\cdot \sin{\varphi_2}}\right]^{\frac{e}{2}}\right)}-{\ln\left(tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2})\cdot\left[\frac{1-e\cdot \sin{\varphi_1}}{1+e\cdot \sin{\varphi_1}}\right]^{\frac{e}{2}}\right)}}\right)$ ¹
où
$\Delta}\lambda = \begin{cases}\lambda_2-\lambda_1 &{\text{if }} |\lambda_2-\lambda_1|\leq180\textdegree\\360\textdegree+\lambda_2-\lambda_1 &{\text{if }} \lambda_2-\lambda_1{<}-180\textdegree\\\lambda_2-\lambda_1-360\textdegree &{\text{if }} \lambda_2-\lambda_1{>}180\textdegree\end{cases}$ ²
La longueur du loxodrome est calculée selon la formule suivante :
$S=a\cdot\sec\alpha\left[\left(1-\frac{1}{4}e^2\right)\Delta\varphi-\frac{3}{8}e^2(\sin{2\varphi_2}-\sin{2\varphi_1})\right]$ ³

, where $\varphi_1,\lambda_1$ - latitude et longitude du premier point
$\varphi_2,\lambda_2$ - latitude et longitude du second point
$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ - l'excentricité de la sphéroïde (a - la longueur du demi-axe majeur, b - la longueur du demi-axe mineur)

Aux angles de 90 ° ou 270 °, pour le calcul de la longueur de l'arc, la formule suivante était utilisée
$S=a\cdot|\lambda_2-\lambda_1|\cdot\cos\left(\varphi\right)$

V.S. Mikhailov, Livre de navigation et de pilote]] ↩
commentaire de Noè Murr ↩
Miljenko Petrović EQUATION DIFFERENTIELLE D'UN LOXODROME SUR UNE SPHEROIDE ↩

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Anton2021-02-16 02:16:37

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