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Loi normale

Dessine les graphiques de la fonction de répartition et de la densité de probabilité pour la loi normale suivant une variance et une moyenne données.

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La loi normale a un rôle spécial dans la théorie de probabilité. C’est la distribution de probabilité continue la plus commune, utilisée pour la représentation de valeurs aléatoires pour une loi de distribution inconnue.

Fonction de la densité de probabilité

La fonction de la densité de probabilité de la loi normale est la fonction de Gauss :
f(x) = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }

où μ — moyenne,
σ — déviation standard,
σ ² — variance,
La médiane et le mode de la loin normale sont égaux à la moyenne μ.

Le calculateur ci-dessous donne la valeur de la fonction de la densité de probabilité et la valeur de la fonction de la distribution cumulative pour une x, la moyenne et la variance donnés :

PLANETCALC, Loi normale

Loi normale

Chiffres après la virgule décimale : 5
Valeur de la fonction de densité de probabilité
 
Valeur de la fonction de distribution cumulée
 
Graphique de la Densité de probabilité
Graphique de la Fonction de répartition

Fonction de la distribution cumulative

La fonction de la distribution cumulative de la loi normale a la formule suivante :
\frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]
où, erf(x) – function erreur, donnée comme :
\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt

Fonction quantile

La fonction quantile de la loi normale (inverse de la fonction de réparation) donnée suivant une fonction erreur inverse :

F^{-1}(p) = \mu + \sigma\sqrt2\,\operatorname{erf}^{-1}(2p - 1)
p se trouve dans l’intervalle [0,1]

La fonction quantile de la loi normale standard (σ =1, μ=0) ressemble à cela :
 \Phi^{-1}(p)\; =\; \sqrt2\;\operatorname{erf}^{-1}(2p - 1)
Cette fonction est appelée la fonction probit.
Le calculateur ci-dessous donne la valeur du quantile suivant la probabilité loi normale définie par sa moyenne et sa variance (fixer la variance à 1 et la moyenne à 0 pour la fonction probit).

PLANETCALC, Fonction quantile de la loi normale

Fonction quantile de la loi normale

Chiffres après la virgule décimale : 2
Quantile
 

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