Equations diophantiennes linéaires

Comme d'habitude, voici le calculateur et la théorie est en-dessous.

Equations diophantiennes linéaires

Constante a

Constante b

Constante c

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Equation

 

Toutes les solutions pour x

 

Toutes les solutions pour y

 

x

 

y

 

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Puisqu'il s'agit uniquement de math, j'ai copié une partie du contenu depuis wikipédia pour commencer.

En mathématiques, une équation diophantienne est une équation polynomiale avec deux inconnues ou plus telle que seul les solutions entières soient cherchées ou étudiées (une solution entière est une solution telle que toutes les inconnues prennent des valeurs entières). Une équation diophantienne linéaire est une équation entre deux sommes de monômes de degrés zéro ou un.

L'équation diophantienne linéaire la plus simple a la forme

,

où a, b and c sont des entiers donnés, x, y — les inconnues.

Les solutions sont complètement décrites par le théorème suivant : Cette équation diophantienne a une solution (où x et y sont des entiers) si et seulement si c est un multiple du plus grand diviseur commun de a et b. De plus, si (x,y) est une solution, alors les autres solutions ont la forme (x + kv, y - ku), où k est un entier arbitraire et et et v sont les quotients de a et b (respectivement) par le plus grand diviseur commun de a et b.

Pour trouver les solutions, on peut utiliser l'Algorithme d'Euclide étendu (sauf pour a = b = 0 où il y a soit un nombre infini de solutions soit aucune).

Si a et b sont des entiers positifs, nous pouvons trouver leur PGDC g en utilisant l'Algorithme d'Euclide étendu, ainsi que и , donc :

.

Si c est un multiple de g, l'équation diophantienne a une solution sinon, il n'y a aucune solution.

C'est, si c est un multiple de g, alors

et l'une des solutions possibles est :

Si soit a, soit b est négatif, nous pouvons résoudre l'équation en utilisant son module, puis en modifiant le signe en conséquence.

Si nous connaissons l'une des solutions, nous pouvons trouver leur forme générale.

Si g = GCD(a,b), et nous avons :

.

En ajoutant to et en soustrayant à , nous obtenons :

Donc, tout nombre comme ceux-ci :

,

où k est un entier, sont des solutions de l'équation diophantienne linéaire.