Récurrence linéaire à coefficients constants

Une séquence de récurrence linéaire est une séquence infinie de nombres où chaque terme de la séquence satisfait une relation de récurrence d'ordre d :

pour tout , avec des termes initiaux spécifiés , où sont des constantes, .

Les exemples les plus célèbres de séquences récursives constantes se trouvent sous la calculatrice.

Linear recurrence with constant coefficients

Coefficients de récurrence linéaire

Terms to calculate

Condition initiale

x₀

x₁

x₂

x₃

x₄

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Formule

 

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Précision de calcul

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Les séquences de récurrence linéaire les plus célèbres

Commençons par le fait que des concepts aussi connus que la suite arithmétique et la suite géométrique sont des suites récurrentes linéaires.

Une suite arithmétique dont le premier terme est a₁ et la différence commune d peut être décrite comme la suite récurrente linéaire suivante d'ordre 2 :

avec les conditions initiales x₁ = a₁ et x₂ = a₁+d. Voici la pour la suite arithmétique avec a₁ = 1 et d = 2.

Une suite géométrique avec le premier terme a₁ et le rapport commun q peut être décrite comme la suite récurrente linéaire suivante d'ordre 1 :

avec la condition initiale x₁ = a₁. Voici la pour la suite géométrique avec a₁ = 1 et q = 2.

Mais l'une des séquences récurrentes linéaires les plus célèbres est , dans laquelle chaque nombre est la somme des deux précédents et des termes initiaux 0 et 1. D'ailleurs, le rapport de deux nombres de Fibonacci consécutifs donne l'approximation ratio d'or.

Les nombres de Fibonacci sont un exemple des séquences dites de Lucas. Les séquences de Lucas sont une famille de paires de séquences récurrentes linéaires du second ordre considérées pour la première fois par François Édouard Anatole Lucas. Un autre exemple est la - une séquence dans laquelle, comme dans les nombres de Fibonacci, les nombres de Fibonacci sont des suites récurrentes linéaires de second ordre, comme dans les nombres de Fibonacci, chaque nombre suivant est égal à la somme des deux nombres précédents, mais avec les premiers membres 2 et 1, respectivement. Les nombres de Lucas peuvent être utilisés pour tester la primalité.

Deux autres séquences de Lucas notables sont , dont la formule est la suivante

et des termes initiaux 0 et 1, et ou nombres de Pell compagnons, avec la même formule et les termes initiaux 2 et 2. Ces séquences sont remarquables car elles permettent de construire une séquence infinie d'approximations pour la racine carrée de deux :

Ici, le numérateur est la moitié du nombre de Pell-Lucas (2, 6, 14, 34, ...), et le dénominateur est le nombre de Pell (1, 2, 5, 12, ...), en commençant par le deuxième nombre de la séquence (n =1). En outre, le rapport de deux nombres Pell consécutifs donne une approximation de ce que l'on appelle le rapport d'argent.

Enfin, les paramètres par défaut de la calculatrice,