Forme polynômiale standard

Le calculateur présente en outre un polynôme multivarié dans la forme standard (élargit les parenthèses, élève à la puissance et combine les termes similaires). Les variables polynômiales peuvent être spécifiées en caractères minuscules ou en utilisant la forme de n-uplet d'exposants. Par exemple, les deux notations suivantes sont égales : 3a^2bd + c et 3 [2 1 0 1] + [0 0 1]. Vous pouvez choisir la représentation des variables de sorties sous forme symbolique, de variables indexées ou de n-uplet d'exposants. Le calculateur donne également le degré du polynôme et le vecteur des degrés des monômes. Les coefficients du polynôme résultant peuvent être calculés dans le champ des nombres rationnels ou réels.

Forme polynômiale standard

2(7ab+3a^2b+cd^4)(2ef-4a^2)-7b^2ef

Polynôme multivarié

Ordre monomialLexicographique Lexicographique gradué Lexicographique inversé gradué

VariablesSymbolique Indexée Tableau des exposants

Normaliser

Calculer

Précision de calcul

Exact

Arrondi

Chiffres après la virgule décimale : 2

Résultat

 

Degré polynômial

 

Degrés monomiaux

 

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Monôme

Un monôme est un produit de puissances de plusieurs variables x_i avec des exposants a_i entiers non négatifs :

Si le nombre de variables est petit, les variables polynômiales peuvent être écrites avec des caractères latins. Par exemple x₁²x₂ et x²y sont des notations équivalents d'un monôme à deux variables.
Un monôme peut également être représenté comme un n-uplet d'exposants :

Ex. le monôme x²y³z peut être représenté comme le n-uplet : (2,3,1)
Le degré du monôme est la somme de tous les exposants des variables :

Ex. degré du monôme : x²y³z is 2+3+1 = 6

Polynôme

Un polynôme est une somme finie de monômes multipliés par des coefficients c_I :

Un degré polynomial deg(f) est le degré monomial |α| maximum avec des coefficients non nuls.
Contrairement aux polynômes à une variable, les polynômes multivariés peuvent avoir plusieurs monômes de même degré. A ce titre, se pose la question de déterminer l'ordre de l'ensemble des termes du polynôme.

Ordre monomial¹

Il y a plusieurs manières de spécifier l'ordre des monômes.

Ordre lexicographique

L'ordre monomial le plus simple est lexicographique. Dans ce cas, la coordonnée non-nulle la plus à gauche obtenue en soustrayant les n-uplets d'exposants des monômes comparés est positive :

Exemple d'ordre lexicographique :

Le premier monôme x^α est lexicographiquement supérieur au deuxième x^β, puisqu'après la soustraction des n-uplets d'expostants, nous obtenons (0,1,-2), où la coordonnée non-nulle la plus à gauche est positive.

Ordre lexicographique gradué

L'ordre lexicographique gradué est déterminé essentiellement par le degré du monôme. Si le degré est supérieur, alors le monôme est également considéré comme supérieur. En cas de degrés égaux, la comparaison lexicographique est appliquée :

Exemples d'ordre lexicographique gradué :
a)

Le monôme x^β est supérieur à x^α, puisque le degré |β|=7 est supérieur au degré |α|=6.
b)

Le monôme x^α est supérieur à x^γ, puisqu'ils sont de même degré, mais le premier est lexicographiquement supérieur au deuxième.

Ordre lexicographique inversé gradué

L'ordre lexicographique inversé gradué est similaire au précédent. Si le degré est supérieur, alors le monôme est également considéré comme supérieur. Le monôme est supérieur si la coordonnée non-nulle la plus à droite obtenue en soustrayant les n-uplets d'exposants des monômes comparés est négative dans le cas de degrés égaux.
Exemples de comparaisons lexicographiques inversées graduées :
a)

Le monôme x^β est supérieur à x^α, puisque le degré|β|=7 est supérieur au degré |α|=6.
b)

Le monôme x^γ est supérieur à x^α, puisque leurs degrés sont égaux mais la soustraction des n-uplets d'exposants donne (-1,2,-1) et nous voyons que la valeur la plus à droite est inférieure à zéro.