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Calculateur du polynôme de Lagrange

Ce calculateur en ligne construit le polynôme de Lagrange pour un ensemble de points donnés, montre la solution étape par étape, et trace le polynôme de Lagrange ainsi que ses polynômes de base dans un graphique. Il peut également interpoler des points supplémentaires, si demandé.

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Timur

Timur

GM

Gaulthier Marrel

Créé: 2020-12-01 06:37:35, Dernière mise à jour: 2020-12-01 06:37:35

J'ai écrit ce calculateur pour pouvoir vérifier les solutions des problèmes d'interpolation de Lagrange. Dans ces problèmes, il vous est souvent demandé d'interpoler la valeur d'une fonction inconnue correspondant à une certaine valeur de x, en utilisant la formule d'interpolation de Lagrange, depuis l'ensemble de données donné, soit un ensemble de points x, f(x).

Le calculateur ci-dessous peut vous assister pour les calculs suivants :

  1. Il trouve la formule du polynôme de Lagrange pour un ensemble de données donné.
  2. Il montre la dérivation de la formule étape par étape.
  3. Il interpole la fonction inconnue en calculant la valeur du polynôme de Lagrange et ses polynômes de bases (points d'interpolation.
  4. Il trace l'ensemble de données, les points interpolés, le polynôme de Lagrange et ses polynômes de base sur un graphique.

Utilisation

Premièrement, saisissez les points de données, un point par ligne, sous la forme x f(x), séparés par des espaces.Si vous voulez interpoler la fonction avec le polynôme de Lagrange, saisissez les points d'interpolation dans le champ suivant, juste les valeurs x, séparées par des espaces.

Par défaut, le calculateur montre la formule finale et les points interpolés. Si vous voulez voir la solution étape par étape pour la formule du polynôme, activez l'option "Montrer la solution étape par étape". Le graphique en bas montre le polynôme de Lagrange, ainsi que ses polynômes de bases. Ceux-ci peuvent être désactivés.

Vous pouvez également trouver de la théorie concernant le polynôme de Lagrange en-dessous du calculateur.

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Calculateur du polynôme de Lagrange

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Polynôme de Lagrange
 
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Polynôme de Lagrange
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Polynôme de Lagrange

Supposons que nous avons un ensemble de points de données pour une fonction inconnue, où aucune valeur de x n'est identique :

(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})

Construisons le polynôme suivant (appelé polynôme de Lagrange) :

L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)

où \ell _{j}(x) est le polynôme de Lagrange de base

\ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq m\leq k\\m\neq j\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}

Si vous regardez la formule du polynôme de base pour tout j, vous pouvez voir que pour tous les points i non égaux à j le polynôme de base pour j est zéro, et au point j le polynôme de base pour j est un. Soit

y_{j}\ell _{j}(x_{j})=y_{j} \cdot 1=y_{j}

et

L(x_{j})=y_{j}+0+0+\dots +0=y_{j}

ce qui signifie que le polynôme de Lagrange interpole exactement la fonction.

Notez que la formule d'interpolation de Lagrange est sujette au phénomène de Runge. C'est un problème d'oscillation aux limites d'un intervalle lors de l'utilisation de polynômes de degré plus important sur un ensemble de points d'interpolation équidistants. Il est important de garder à l'esprit, comme cela signifie qu'aller vers des degrés plus élevés (soit avoir plus de points de données dans l'ensemble), n'améliore pas toujours la précision de l'interpolation.

Cependant, notez également que contrairement aux autres formules d'interpolation, la formule de Lagrange ne nécessite pas que les valeurs de x soient équidistantes. Elle est utilisée pour atténuer le problème, comme le changement des points d'interpolation utilisant les nœuds de Chebyshev.

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