Calculatrice en ligne: Méthode d'Euler

Vous pouvez utiliser ce calculateur pour résoudre des équations différentielles du premier degré avec une valeur initiale donnée en utilisant la méthode d'Euler.

Pour utiliser cette méthode, vous devez avoir une équation différentielle de la forme
$y \prime = f(x,y)$
Vous saisissez le côté droit de l'équation f(x,y) dans le champ y' ci-dessous.

Vous avez également besoin de la valeur initiale comme
$y(x_0)=y_0$
et le point $x$ pour lequel vous voulez approximer la valeur $y$ .

Le dernier paramètre de la méthode - une taille de pas - est littéralement le pas le long de la tangente pour calculer la prochaine approximation de la courbe d'une fonction.

Si vous connaissez la solution exacte d'une équation différentielle de la forme y=f(x), vous pouvez également la saisir. Dans ce cas, le calculateur trace également la solution avec l'approximation sur le graphique, et il calcule l'erreur absolue pour chaque étape de l'approximation.

Une explication de la méthode est disponible en-dessous du calculateur.

Méthode d'Euler

x initial

y initial

Point d'approximation

Taille du pas

Solution exacte (optionnelle)

Précision de calcul

Chiffres après la virgule décimale : 2

Equation différentielle

Valeur approximative de y

Approximation

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Méthode d'Euler

Alors, supposons que nous avons ce qui suit
$y \prime = f(x,y) \\ y(x_0)=y_0$

Si nous calculons
$f(x_0,y_0)$

nous trouverons la dérivée y' au point initial.

Pour un $\Delta x$ , suffisamment petit, nous pouvons approximer la prochaine valeur de y comme
$y(x_0+\Delta x)=y(x_1)=y_0+\Delta y=y_0+y \prime |_{x=x_0} \Delta x=y_0+f(x_0,y_0)\Delta x$

Ou, plus brièvement
$y_1=y_0 + f_0 \Delta x$

Et dans le cas général
$y_{i+1}=y_i + f_i \Delta x$

Nous continuons de calculer les prochaines valeurs y en utilisant cette relation jusqu'à ce que nous atteignions le point x cible.

Ceci est l'essence de la méthode d'Euler. $\Delta x$ est la taille du pas. L'erreur à chaque pas (erreur de troncature locale) est à peu près proportionnelles à la taille du pas, ainsi la méthode d'Euler est plus précise si la taille du pas est plus petite. Cependant, l'erreur de troncature globale est l'effect cumulé des erreurs de troncature locale et est proportionnelle à la taille du pas, et c'est pourquoi la méthode d'Euler est définie comme étant une méthode du premier ordre.

Des méthodes plus compliquées peuvent atteindre un ordre supérieur (et plus de précision). Une possibilité est d'utiliser plus d'évaluations de fonctions. Ceci est illustré par la Méthode du point médian

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