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Décomposition en fractions partielles

Le calculateur décompose une fraction polynomial en plusieurs fractions avec un dénominateur plus simple.

Le calculateur ci-dessous transforme une fraction polynomiale en une somme de fractions plus simples. Le numérateur de la fraction est définie par une séquence de coefficients (en commençant par le coefficient de plus haut degré jusqu'à plus faible). Le dénominateur est donné par un produit de polynômes linéaires ou quadratiques élevées à un degré >=1.

PLANETCALC, Décomposition en fractions partielles

Décomposition en fractions partielles

Coefficients polynomiaux séparés par des espaces

Facteurs polynomiaux du dénominateur

FacteurExposant
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Le calculateur suivant fournit une méthode plus simple pour saisir le dénominateur et une logique plus compliquée pour trouver la décomposition en fractions. Mais ce calculateur ne fonctionnera pas sir le dénominateur polynomial a des facteurs irréductibles de degrés > 2 en nombres rationnels.

PLANETCALC, Décomposition en fractions partielles 2

Décomposition en fractions partielles 2

Coefficients polynomiaux séparés par des espaces
Coefficients polynomiaux séparés par des espaces.
Problème
 
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Procédure d'expansion en fractions partielles

La procédure de décomposition en fractions partielles d'une fraction polynomiale P(x)/Q(x) est la suivante :

  • convertir le dénominateur polynomial en monique en divisant P (x) et Q (x) par le coefficient principal de Q (x)

\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} = \frac{P(x)/lc(Q(x)}{Q(x)/lc(Q(x))}

  • Si le degré de P1(x) est supérieur ou égal au degré de Q1(x), faire la division longue pour trouver le terme polynomial commun (quotient) et le nouveau numérateur P2(x) (reste), avec un degré inférieur au degré de Q1(x) :

\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} = quot(P_1(x),Q_1(x)) + \frac{P_2(x)}{Q_1(x)}, où P_2(x)=\frac{rem(P_1(x),Q_1(x))}{Q_1(x)}

  • trouver la factorisation du dénominateur comme l facteurs linéaires pour les racines réelles de Q1(x) et n facteurs quadratiques pour les racines complexes de Q1(x) :

Q_1(x) = (x-x_1)^{k_1}\cdots(x-x_l)^{k_l}(x^2+p_1x+q_1)^{m_1}\cdots(x^2+p_nx+q_n)^{m_n}

  • puis la décomposition en fractions partielles prend la forme :

\frac{P_2(x)}{Q_1(x)} = \sum_{j=1}^l\sum_{k=1}^{k_j} \frac{a_{jk}}{(x-x_j)^k} + \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{m_j} \frac{b_{jk}x+c_{jk}}{(x^2+p_jx+q_j)^k}, où ajk, bjk,cjk sont des nombres réels. 1

  • réduire le côté droit du numérateur à un dénominateur commun
  • développer les facteurs polynomiaux du numérateur et exprimer les coefficients polynomiaux du numérateur en termes d'une expression linéaire de constantes inconnues ajk, bjk,cjk
  • égaliser chaque coefficient de P2(x) à l'expression linéaire avec ajk, bjk,cjk correspondant au même degré de x
  • créer et résoudre le système d'équations linéaires pour obtenir ajk, bjk,cjk
    Vous pouvez choisir 'Montrer les détails' dans les calculateurs ci-dessous pour étudier la procédure étape par étape en utilisant un exemple.

  1. V.A.Zorich Analyse mathématique vol.1 ↩

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Anton2021-03-04 22:15:26

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