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Factorisation polynomiale dans un champ fini

Le calculateur trouve les facteurs d'un polynôme en utilisant l'algorithme de Cantor-Zassenhaus

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Anton

Gaulthier Marrel

Créé: il y a 4 ans, Dernière mise à jour: il y a 4 ans
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Ce calculateur trouve les facteurs irréductibles d'un polynôme univarié dans un champ fini en utilisant l'algorithme de Cantor-Zassenhaus. Initialement, il réalisé la Factorisation de degré distinct pour trouver les facteurs qui peuvent être décomposés davantage. Finalement, si nécessaire, il applique un algorithme de factorisation de degré égal décrit juste en-dessous du calculateur.

PLANETCALC, Factorisation polynomiale Cantor-Zassenhaus dans un champ fini

Factorisation polynomiale Cantor-Zassenhaus dans un champ fini

Saisie du polynôme
x9+7x8+x7+7x6+10x5+2x4+6x2+9x+4
Solution
(x+3)(x+7)(x3+8x2+4x+12)(x4+2x3+3x2+4x+6)
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Facteurs

FacteurExposant
x+31
x+71
x3+8x2+4x+121
x4+2x3+3x2+4x+61

Algorithme de factorisation de Cantor-Zassenhaus

Cet algorithme a généralement de meilleures caractéristiques pour les grands modules que l'algorithme de factorisation de Berlecamp similaire.

  • Vérifier si le polynôme est sans carré
  • Trouver tous les facteurs pour les degrés distincts
  • Appliquer l'algorithme de décomposition de degré égal, décrit ci-dessous, pour chaque facteur avec un degré supérieur au degré distinct obtenu dans l'étape précédente

Algorithme de factorisation de degré égale

  1. // u(x) - Input polynomial of degree rd
  2. // qui a r facteurs chacun
  3. // de degré d dans le champ Fp
  4. // p - ordre impair des champs
  5. // d - degré des facteurs cibles
  6. // r - nombre de facteurs cibles
  7. s { u }
  8. loop while size(s) less than r
  9. h random polynomial
  10. of degree less than 2d
  11. g h^(p^d-1/2) -1 mod u
  12. for each a in s do
  13. if deg(a) greater than d
  14. and gcd(g, a) 1
  15. and gcd(g, a) a then
  16. remove a from s
  17. add gcd(g,a) to s
  18. add a/gcd(g,a) to s
  19. end if
  20. end do
  21. end loop
  22. output s
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