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Factorisation polynomiale modulo p

Le calculateur trouve les facteurs polynomiaux modulo p en utilisant l'algorithme d'Elwyn Berlekamp

Ce calculateur trouve les facteur irréductibles d'un polynôme donné modulo p en utilisant l'algorithme d'Elwyn Berlekamp. La description de l'algorithme est juste en dessous du calculateur.

PLANETCALC, Factorisation polynomiale de Berlekamp

Factorisation polynomiale de Berlekamp

Polynôme saisi
 
Solution
 
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Algorithme de factorisation de Berlekamp

L'algorithme décrit ici est une compilation compacte de l'algorithme de factorisation décrit dans TAOCP vol 2 de D.Knuth 1.

Données initiales

  • u(x) - polynôme de degré, n>=2
  • p - nombre premier du module

Etapes de préparation

  • Vérifier que le polynôme est monique, sinon diviser tous les coefficients polynomiaux par le coefficient un
    du plus haut degré
  • Vérifier que le polynôme est sans carré en utilisant la Factorisation Polynomiale sans carré en champ fini
  • Pour chaque facteur polynomial sans carré de degré 2 ou plus, lancer l'algorithme ci-dessous

L'algorithme

  • Trouver la matrice Q (n * n ), où n est un degré polynomial suivant la procédure ci-dessous:
    • Initialiser un vecteur A (a0, a1 ... an-1) = 1,0...0
    • Initialiser la première ligne de la matrice Q (q0,0, q0,1 ... q0,n-1) avec 0,0...0
    • La boucle sur i = 1..n-1 réalise l'action suivante
      • La boucle sur k = 1..n-1 réalise l'action suivante
        • Définir = an-1
        • La boucle sur j = n-1 .. 0 réalise l'action suivante
          • aj=aj-1-t*uj, suppose que a-1 = 0
      • Fixer la ligne i de la ligne Q au vecteur A
      • Soustraire 1 de l'élément qi,i de la matrice Q
  • Trouver les vecteurs linéaires indépendants v[1] ... v[r], tels que v[1] Q = v[2] Q = ... v[r] Q = (0,0...0)
    • Fixer tous les éléments du vecteurs C de n éléments à -1 : c0 = c1 = .. = cn-1 = -1
    • Fixer r = 0
    • La boucle sur k = 0 ... n-1 réalise l'action suivante
      • La boucle j = 0 ... n-1 réalise l'action suivante
        • if qk,j ≠ 0 and cj<0
          • Fixer a = qk,j
          • Multiplier la colonne j de la matrice Q par -1/a
          • Ajouter la colone (i ≠ j) j fois qk,i à chaque autre colonne
        • sinon (si qk,j=0 ou cj égal à 0 ou supérieur à 0)
          • Fixer r = r + 1
          • Fixer chaque élément i d'un nouveau vecteur v[r] de n éléments à l'une des trois valeurs suivantes :
            • ak,s, si s élément s trouvés dans le vecteur C, tels que cs = i
            • 1, si i = k
            • 0 - sinon
  • Trouver les facteurs r du polynôme u(x) en utilisant les vecteurs v[2] ... v[r]
    • Trouver tous les wi = gcd(u(x),v[2]-s) ≠ 1 pour chaque s = 0 ... p
    • Si le nombre de w < r réaliser l'action suivante
    • La boucle sur j=3 ... r opère jusqu'à ce que w < r
      • Remplacer wi par les facteurs trouvés par le pgcd (v[j]-s,wi) ≠ 1 pour chaque s = 0 ... p


  1. D.Knuth L'art de la programmation informatique vol 2, par. 4.6.2 Factorisation des Polynômes 

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