Conversion de nombres fractionnaires entre deux système de numération

Ce calculateur en ligne aide à convertir un nombre fractionnaire depuis un système de numération vers un nombre fractionnaire dans un autre système de numération.

Après avoir créé plusieurs calculateurs pour la conversion de systèmes de numération (depuis les plus simples jusqu'aux plus avancés : Conversion of decimal number to other notations, Conversion depuis le système de numération décimal, Conversion en deux systèmes de numération - les utilisateurs me demandent souvent ; que devrions-nous faire en ce qui concerne les nombres fractionnaires, comment les convertir ? Ainsi, j'ai décidé de créer un autre calculateur qui peut également convertir les nombres fractionnaires entre différents systèmes de numération.

Comme d'habitude, j'ai expliqué la théorie en-dessous du calculateur

PLANETCALC, Conversion de nombres fractionnaires entre deux système de numération

Conversion de nombres fractionnaires entre deux système de numération

Base du système numérique d'entrée

Base du système numérique cible

Chiffres après la virgule décimale : 8
Nombre cible
 
Détails de la conversion
 
Nombre source (décimal)
 
Nombre cible (décimal)
 
Erreur de conversion (décimal)
 
Possibilité d'erreur de conversion maximale (décimal)
 

J'ai longtemps pensé que la conversion de nombre fractionnaires était un sujet compliqué, néanmoins il s'est avéré que s'est très simple à comprendre. Tout ce qu'il faut retenir, est que cela
traite d'un système de numération positionnelle.

Laissez-moi vous illustrer cela avec un exemple. Prenez le nombre décimal 6,125. Vous pouvez l'écrire comme cela :

6,125=6*10^0 + 1*10^{-1}+2*10^{-2}+5*10^{-3}=6*1+\frac{1}{10}+\frac{2}{100}+\frac{5}{1000}

C'est facile à suivre, n'est-ce pas ? Et c'est la même chose pour n'importe quel autre système de numération positionnelle. Prenons par exemple, le très célèbre système binaire, et le nombre fractionnaire binaire 110,001. Vous pouvez l'écrire comme cela :

110.001=1*2^2 + 1*2^1+0*2^0+0*2^{-1}+0*2^{-2}+1*2^{-3}=1*4+1*2+0*1+\frac{0}{2}+\frac{0}{4}+\frac{1}{8}=6+\frac{1}{8}=6,125

Oui, j'ai créé cela. Le nombre binaire 110,001 est le nombre décimal 6,125. N'est-ce pas extrêmement simple ?

Néanmoins, il y a une mise en garde. Puisque nous avons des fractions, et puisque les dénominateurs sont différents, nous ne pouvons pas toujours conserver la même précision avec les différents systèmes de numération.

Une fois de plus, laissez-moi vous montrer avec un exemple. Observez le nombre décimal 0,8

0,8=0+\frac{8}{10}.

Tout est parfait.... pour le système de numération décimal. Néanmoins, pour le système de numération binaire nous avons quelques problèmes. Regardez cela

0+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{0}{8}+\frac{0}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+...=0 + 0,5 + 0,25+0,03125+0,015625+...=0,796875+...

Et nous pouvons continuer, mais nous pouvons déjà observer que le nombre décimal 0,8 est 0,11001100 en nombre binaire... (et bien d'autres chiffres). Je ne suis même pas sûr que nous puissions trouver le nombre exacte de chiffres binaires pour écrire précisément 0,8.

C'est pourquoi la conversion de nombres fractionnaires engendrent souvent une erreurs de conversion. L'erreur dépend du nombre de chiffre après la virgule que nous choisissons d'utiliser. Par exemple, convertissons le nombre décimal 0,8 vers le nombre binaire avec 6 chiffres après la virgule. Nous obtiendrons 0,110011. Mais ce n'est pas le nombre décimal 0,8, en réalité c'est le nombre décimal 0,796875, la différence est donc de 0,003125. Et c'est notre erreur durant la conversion du nombre décimal 0,8 vers le nombre binaire avec 6 chiffres après la virgule.

La valeur du dernier chiffre est appelée résolution ou précision et elle définit le plus petit chiffre possible autre que zéro qui puisse être écrit en utilisant ce nombre de chiffres. Dans notre exemple, il s'agit de 2^{-6}=0,015625. Et l'erreur de conversion maximale possible dans ce cas est réduit de moitié, soit 0,0078125. Notez que notre erreur de conversion pour 0,8 n'est pas mauvaise comparée à l'erreur maximale possible.

Et voilà.

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