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Nombres complexes

The calculator displays complex number and its conjugate on the complex plane, evaluate complex number absolute value and principal value of the argument . It also demonstrates elementary operations on complex numbers.

Depuis le 16ème siècles, les mathématiciens ont eu besoin de nombres spéciaux, désormais connus comme nombres complexes. Le nombre complexe est un nombre de la forme a+bi, où a et b sont des — nombres réels, i — unité imaginaire qui est la solution de l'équation : i2=-1.

Il est intéressant de suivre l'évolution des opinions des mathématiciens concernant les problèmes de nombres complexes. Voici quelques citations d'anciens travaux sur ce sujet :

  • 16ème siècle : Ainsi progresse doucement l'arithmétiques vers sa fin qui... est aussi raffiné qu'inutile. 1
  • 17ème siècle : Le miracle d'analyse; Ce bijou du monde des idées, un objet presque amphibian entre l'être et le non-être que nous appelons le nombre imaginaire. 2
  • 18ème siècle : Les racines carrés des nombres négatifs ne sont pas égales à zéro, ne sont ni inférieures, ni supérieures à à zéro. Les racines carrés des nombres négatifs ne peuvent pas appartenir aux nombres réels, ainsi ce sont des nombres irréels. Cette circonstance à donner lieu à la considération de nombres qui sont intrinsèquement impossibles et généralement appelés imaginaires puisque seul l'esprit peut leur donner vie. 3
  • 19ème siècle : Personne ne remet en cause l'exactitude des résultats que nous obtenons lors du calcul de quantités imaginaires bien qu'ils ne soient que des formes algébriques et les hiéroglyphes de quantités iréelles. 4

Il existe différentes manières d'utiliser les nombres complexes. Nous vous montreront trois d'entres-elles.

Forme algébrique

z = a + bi,
où a et b - nombres réels, i - unité imaginaire, de telle sorte que i2=-1. a - correspond à la partie réelle, b - à la partie imaginaire.

Forme polaire

z = r (\cos \vaphi +i \sin \varphi),
où r - valeur absolue du nombre complexe :
r = |z| =\sqrt{a^2+b^2}
est la distance entre le point 0 et le point complexe dans le plan complexe et φ est un angle entre l'axe des réels positifs et le vecteur complexe (argument).

Forme exponentielle (Forme d'Euler)

z = r e^{i\varphi} est une version simplifiée de la forme polaire conformément à la formule d'Euler.

PLANETCALC, Nombre complexe

Nombre complexe

Chiffres après la virgule décimale : 2
En forme polaire
 
en forme d'Euler
 
Nombre complexe
 
Valeur absolue
 
Valeur de l'argument principal (rad)
 
Valeur de l'argument principal (degrés)
 
Conjugué
 
Plan complexe



L'argument d'un nombre complexe est une fonction à plusieurs valeurs arg(z)=\varphi+2\pi{k}, pour l'entier k. La valeur principale de l'argument est une valeur simple dans l'intervalle ouvert (-π..π].
La valeur principale peut être calculée sous forme algébrique en utilisant la formule ci-dessous :
\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\{\text{indeterminate }}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}
Cet algorithme est instauré en une fonction javascript Math.atan2.

Toutes les fonctions arithmétiques élémentaires sont définies pour les nombres complexes :

PLANETCALC, Opérations élémentaires pour les nombres complexes

Opérations élémentaires pour les nombres complexes

Chiffres après la virgule décimale : 2
Résultat (z)
 

Addition de nombres complexes

Un nombre complexe peut être ajouté à un autre dans la même manière que les polynômes :
 z_1+z_2 = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i

Multiplication de nombres complexes

En utilisant la définition du nombre complexe i*i=-1, nous pouvons facilement élaboré la formule de multiplication des nombres complexes :
 z_1 \dot z_2 = ({a_1}{a_2}-{b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2}+{a_2}{b_1})i

Division de nombres complexes

Pour obtenir la formule de division des nombres complexes, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du nombre complexe (pour éliminer la partie imaginaire dans le dénominateur) :
\frac{z_1}{z_2}=\frac{{z_1}\overline {z_2}}{{z_2}\overline {z_2}}
Le conjugué est défini comme :
\overline z = a-b i
Ainsi la formule finale de la division est :
\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i

Puissance de nombres complexes

En utilisant la forme d'Euler, cela a l'air très simple :
z^n=r^ne^{{i}{n}\phi}
Cette formule est dérivée de la formule de De Moivre :
{\big (}\cos(x)+i\sin(x){\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)

racine n-ième

A partir de la formule de De Moivre les racines n-ièmes de z (la puissance de 1/n) sont données par :
\sqrt[n]{z} = r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right),
il y a n racine où k = 0..n-1 - a index du radical. Les racines peuvent être affichées dans le plan complexe ou sous la forme de vertex de polygones droits.


  1. G. Cardano, Le Grand art soit des règles algébriques, (1539) 

  2. G. Leibniz, (suivant wikipédia) 

  3. L. Euler, Arithmétique universelle, (1768) § 142-143 

  4. L. Carnot, Réflexions sur les principes métaphysique de l'analyse de l'infime (1797) Tr. by W.R. Brownell p. 104 

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