Calculatrice en ligne: Rayon de la Terre selon la latitude (WGS 84)

Ce calculateur en ligne calcule le rayon de la Terre à une latitude donnée. En fait, il calcule le rayon de l'ellipsoïde de référence WGS 84 à une latitude donnée, et si vous souhaitez connaître la théorie, vous pouvez la trouver en-dessous du calculateur.

Rayon de la Terre selon la latitude (WGS 84)

Latitude

′

″

Précision de calcul

Chiffres après la virgule décimale : 3

Rayon (km)

Rayon de la Terre

Come la Terre est aplatie aux pôles et gonflée à l'équateur, la géodésie représente la forme de la Terre avec une sphéroïde aplatie. La sphéroïde aplatie ou ellipsoïde aplatie est une ellipsoïde de révolution obtenue en faisant pivoter une ellipse selon son axe le plus court. C'est la forme géométrique régulière qui se rapproche le plus de la forme de la Terre. Une sphéroïde décrivant la figure de la Terre ou d'un autre corps céleste est appelée une ellipsoïde de référence. L'ellipsoïde de référence pour la Terre est appelée ellipsoïde de la Terre.

La surface physique de la Terre est irrégulière. Elle peut être approximé par la géoïde, qui était un concept important pendant les près de deux cents ans de l'histoire de la géodésie et de la géophysique. Selon Gauss, qui l'a décrite en premier, c'est la "figure mathématique de la Terre", une surface lisse mais hautement irrégulière dont la forme résulte de la distribution inégale de a masse au sein de la surface de la Terre. La surface géoïde est irrégulière mais considérablement plus lisse que la surface physique de la Terre.

Du fait de leur simplicité relative, les ellipsoïdes de référence sont utilisées comme surface de préférence sur lesquelles les calculs de réseau géodésique sont réalisés et où les coordonnées telles que la latitude, la longitude et l'altitude sont définies. Actuellement, l'ellipsoïde de référence la plus utilisée et ce dans le contexte du système de positionnement mondial est celle définie par WGS 84.

Deux quantités définissent spécifiquement une ellipsoïde de révolution. Plusieurs conventions pour exprimer les deux quantités sont utilisées en géodésie, mais elles sont équivalentes et convertissables entres-elles :

Rayon équatorial a (appelé axe semi- majeur), et rayon polaire b (appelé axe semi- mineur) ;
a et excentricité e;
a et aplatissement f.

WGS 84 définit les paramètres de l'ellipsoïde comme :
Axe semi-majeur a = 6378137,0 mètres
Axe semi- mineur b = 6356752,3142 mètres

Un point sur la surface de l'ellipsoïde peut être défini selon l'équation paramétrique de la courbe
$(x,y)=(a \, cos(t), b \, sin(t))$

Le rayon peut être trouvé en utilisant le théorème de Pythagore
$R(t)^2 = a^2 cos^2(t) + b^2 sin^2(t)$

Cependant, le problème est que l'angle t de l'exemple ci-dessus est la latitude géocentrique et les coordonnées fournies dans les données géodésiques, telles que WGS 84, sont géodésiques. La latitude géodésique est déterminée par l'angle entre le plan équatorial et la droite entre le point et le centre de l'ellipsoïde (voir figure)

Ainsi, pour trouver le rayon, nous devons lier la latitude géodésique $\alpha$ à la latitude géocentrique $\beta$ .

Commençons à partir de la tangente de notre courbe qui peut être obtenue en dérivant l'équation de la courbe.
$(x,y)'=(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}) = ( -a \, sin(t), b \, cos(t))$

C'est le vecteur au point le long de la courbe (le long de la droite T sur la figure).

Nous pouvons la faire pivoter de 90 degrés dans le sens horaire $(x,y) => (y, -x)$ et obtenir le vecteur normal $(b \, cos(t), a \, sin(t))$ le long de la droite N.

Le paramètre t est notre $\alpha$ . La pente du vecteur normal est également la tangente de l'angle $\beta$ . Ainsi
$tan(\beta)=\frac{a \, sin(\alpha)}{b \, cos(\alpha)}=\frac{a}{b}tan(\alpha)$
ou
$tan(\alpha)=\frac{b}{a}tan(\beta)$

En utilisant la relation entre la tangente et le cosinus
$1+tan^2(\alpha)=\frac{1}{cos^2(\alpha)} => cos^2(\alpha)=\frac{1}{1+tan^2(\alpha)}$
et entre la tangente et le sinus
$1+cotan^2(\alpha)=\frac{1}{sin^2(\alpha)} => sin^2(\alpha)=\frac{1}{1+\frac{1}{tan^2(\alpha)}}=\frac{tan^2(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)}$ ,
nous pouvons réécrire la formule pour le rayon comme
$R^2 = a^2 \frac{1}{1+tan^2(\alpha)} + b^2 \frac{1}{1+\frac{1}{tan^2(\alpha)}} = \frac{a^2}{1+tan^2(\alpha)} + b^2 \frac{tan^2(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)}$
et remplacer la tangente de $\alpha$ par l'expression de la tangente de $\beta$
$R^2 = \frac{a^2}{1+\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)} + b^2\frac{\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)}{1+\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)}=\frac{a^4+b^4tan^2(\beta)}{a^2+b^2tan^2(\beta)}$

Ensuite, nous pouvons simplifier un peu
$R^2 =\frac{a^4+b^4tan^2(\beta)}{a^2+b^2tan^2(\beta)} = \frac{a^4cos^2(\beta)+b^4sin^2(\beta)}{a^2cos^2(\beta)+b^2sin^2(\beta)}= \frac{ (a^2cos(\beta))^2+(b^2sin(\beta))^2}{(a\,cos(\beta))^2+(b\,sin(\beta))^2}$

Et finalement obtenir la formule de wikipédia

$R =\sqrt{\frac{ (a^2cos(\beta))^2+(b^2sin(\beta))^2}{(a\,cos(\beta))^2+(b\,sin(\beta))^2}}$

Le calculateur ci-dessus utilise cette formule.

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