Calculatrice en ligne: Jeu - Transformation de Fourier Discrète

Ce calculateur est une Sandbox en ligne pour jouer avec la Transformation de Fourier discrète (TFD) Il utilise la véritable TFD qui est la version de la Transformation de Fourier discrète utilisant des nombres réels pour représenter les signaux d'entrée et de sortie. La TFD fait partie de l'analyse de Fourier qui est un ensemble de techniques mathématiques basées sur la décomposition des signaux en sinusoïdes. Alors que de nombreux livres listent des graphiques pour illustrer la TFD, je me suis toujours demandé de quoi ces sinusoïdes avaient l'air ou comment elles évolueraient suite à une légère modification du signal d'entrée. Désormais, ce jeu peut répondre à de telles questions. par défaut, il est rempli avec 32 échantillons, qui sont tous zéros sauf un qui est fixé à 5. Pour cet ensemble d'échantillons, le calculateur affiche les graphiques pour des valeurs réelles, des valeurs imaginaires, des valeurs de magnitude et de phase. Il dessine également le graphique avec toutes les sinusoïdes et les signaux additionnés. Vous pouvez modifier les échantillons suivant vos envies et le graphique se mettre à jour.

Il est désormais temps d'expliquer la théorie. La base de l'analyse de Fourier est l'affirmation qu'un signal peut être représenté comme une somme d'ondes sinusoïdales choisies correctement. Pourquoi les onde sinusoïdes sont-elles utilisées ? Car elles sont plus faciles à manipuler que le signal d'origine ou toutes autres formes d'ondes. De plus, elles ont une propriété utile - la fidélité sinusoïdale, qui est une entrée sinusoïdale dans un système garantit la production d'une sortie sinusoïdale. Seule l'amplitude et la phase peuvent changer, la fréquence et l'onde restent identiques.

Il existe quatre type de Transformation de Fourier : Transformation de Fourier (pour les signaux apériodiques continus), séries de Fourier (pour les signaux périodiques continus), Transformation de Fourier discrète temporelle (pour les signaux apériodiques discrets), Transformation de Fourier discrète (pour les signaux périodiques discrets). Toutes les transformations gèrent une infinité de signaux. Dans un ordinateur, nous avons un nombre fini d'échantillons. Ainsi, pour utiliser les Transformations de Fourier, nous prétendons juste que nos échantillons finis ont un nombre infini d'échantillons à gauche et à droite de nos données actuelles. Et ces échantillons répètent en permanence nos données actuelles. Ainsi, en prétendant que nos échantillons sont des signaux périodiques discrets, dans les algorithmes de l'ordinateur, nous utilisons la Transformation de Fourier Discrète (TFD). Si nous rajoutons des zéros à nos données actuelles au lieu de répéter, nous obtiendrons un signal apériodique discret. Un tel signal nécessite un nombre infini de sinusoïdes. Bien sûre, nous ne pouvons pas l'utiliser avec les algorithmes de l'ordinateur).

Notez également que chaque Transformation de Fourier a une version réelle et complexe. La version réelle est la plus simple et utiliser des nombres ordinaires en entrée (échantillons de signaux, etc.) et la sortie. La version complexe utiliser des nombres complexes avec une partie imaginaire. Ici, nous nous limitons à la TFD réelle puisqu'elle est plus facile à visualiser et à comprendre.

La TFD change un point N d'un signal d'entée en deux N/2+1 de signaux de sortie. Le signal d'entrée est donc comme son nom l'indique le signal d'entée, et les deux signaux de sorties sont les amplitudes des ondes sinusoïdales et cosinusoïdales. Par exemple, afin de représenter un signal sur 32 périodes, vous avez besoin de 17 ondes sinusoïdales et et de 17 ondes cosinusoïdales.

Le signal d'entrée est le domaine de période, les signaux de sortie sont le domaine de fréquence. Le calcul du domaine de fréquence est appelé décomposition, analyse, soit TFD. Le traitement inverse est appelé synthèse ou TFD inverse.

Le signal du domaine de période est représente par une lettre minuscule, soit x[ ] et le signal du domaine de fréquence est représenter par une lettre majuscule, soit X[ ]. Les deux parties du signal de sortie sont appelées partie réelle de X[ ] ou Re X[ , et les Parties imaginaires pf X[ ]__ ou Im X[ ]. Les valeurs de Re X[ ] sont les amplitudes des ondes cosinusoïdales, et les valeurs Im X[] sont les amplitudes des ondes sinusoïdales. Les noms réels et imaginaires sont issus de la TDF générale qui fonctionne avec les nombres complexes. Pour la TDF réelle, il y a seulement les amplitudes des ondes sinusoïdales et cosinusoïdales.

Les ondes sinusoïdales et cosinusoïdales sont appelées fonctions basiques de la TDF - ce sont des ondes avec une unité d'amplitude. Les fonctions basiques de la TDF ont les équations suivantes :
$c_k[i]=cos(\frac{2\pi k i}{N})\\s_k[i]=sin(\frac{2\pi k i}{N})$ ,
où i varie entre 0 et N-1, k varie entre 0 et N/2.

Chaque amplitude de Re X et de Im X est assigné à une onde sinusoïdale ou cosinusoïdale spécifique et le résultat peut être additionné pour former à nouveau le signal de domaine de période. L'équation de synthèse est :
$x[i]=\sum_{k=0}^{N/2}Re\bar{X}[k]cos(\frac{2\pi ki}{N})+\sum_{k=0}^{N/2}Im\bar{X}[k]sin(\frac{2\pi ki}{N})$
Ainsi, tout signal de N-points peut être créé en ajoutant les valeurs de l'onde cosinusoïdale N/2+1 et de l'onde sinusoïdale N/2+1 au même point.

Notez la barre au dessus de X dans la formule ci-dessus. Celle-ci est due au fait que la synthèse doit être obtenue en mettant à l'échelle les valeurs d'origine des amplitudes du domaine de fréquence. Ces amplitudes doivent être normalisées en utilisant les équations suivantes :
$Re\bar{X}[k]=\frac{ReX[k]}{N/2}\\Im\bar{X}[k]=-\frac{ImX[k]}{N/2}$ ,
avec deux cas particuliers :
$Re\bar{X}[0]=\frac{ReX[0]}{N}\\Re\bar{X}[N/2]=\frac{ReX[N/2]}{N}$

Les parties réelles et imaginaires peuvent être représentées en notation polaire en utilisant la relation suivante :
$Acos(x)+Bsin(x)=Mcos(x+\theta)$
M et theta sont appelés Magnitude et Phase et peuvent être calculés à partir de Re et de Im en utilisant les relations suivantes :
$MagX[k]=(ReX[k]^2+ImX[k]^2)^{\frac{1}{2}}\\PhaseX[k]=arctan(\frac{ImX[k]}{ReX[k]})$

Ainsi, en notation polaire, la TFD décompose un signal de N points en des ondes cosinusoïdales avec des variations spécifiques d'amplitude et de phase. Parfois les graphiques de Mag et de Phase sont plus intéressants que ceux de Re et Im.

Retournons désormais à l'équation de synthèse d'origine :
$x[i]=\sum_{k=0}^{N/2}Re\bar{X}[k]cos(\frac{2\pi ki}{N})+\sum_{k=0}^{N/2}Im\bar{X}[k]sin(\frac{2\pi ki}{N})$
Elle peut expliquer pourquoi nous pouvons pratique la TDF, soit trouver les amplitudes Re et Im. Notez que dans cette équation mX[0] et ImX[N/2] seront toujours zéro. Ainsi, pour chaque point N, l'équation ne contient que N termes.
Ainsi, nous avons des systèmes d'équations linéaires avec N équations pour N coefficients inconnus, qui peuvent être résolus en utilisant l'élimination de Gauss par exemple.

Bien sûr pour des valeurs N élevées, personne n'utilise l'élimination Gaussienne, puisqu'elle est trop lente. Cet à ce moment que la Transformation de Fourier Rapide (TFR) prend tout son sens. C'est une méthode de calcul rapide des valeurs Re et Im.
Cependant la TFR est basée sur la TFD complexe une version plus générale de la TFD. Pour N points complexes (avec des parties réelles et imaginaires) d'un signal d'entrée, elle calcule N points complexes du signal de sortie. La question, est comment pouvons nous lier cela à la TDF réelle.

Heureusement, c'est assez facile. Si vous avez un signal de N points, vous placez ces points dans la partie réelle d'un signal d'entrée complexe, vous régler toutes les parties imaginaires du signal d'entrée à zéro, appliquer la TFR et les premiers N/2+1 points des parties réelles et N/2+1 points des parties imaginaires du signal de sortie correspondront à votre TDF réelle.

Le calculateur ci-dessous pour permet de jouer avec le TDF. Vous pouvez modifier le signal d'entrée suivant vos envies. Le calculateur applique la TFR à votre signal (en utilisant l'exécution javascript de le TFR du Projet Nayuki). Ensuite, il affiche les graphiques pour Re X[ ], Im X[ ], Mag X[ ], Phase X[ ], et visualise la synthèse en utilisant les ondes cosinusoïdales et sinusoïdales et en utilisant les variations cosinusoïdales et sinusoïdales pour vous permettre de comprendre comment toutes ces ondes s'additionnent pour recréer le signal d'entrée d'origine du domaine de période.

Sandbox - Transformation de Fourier Discrète

Échantillons

	Nombre de l'échantillon	Valeur de l'échantillon

Précision de calcul

Chiffres après la virgule décimale : 2

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