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Elimination gaussienne

La calculateur résout les systèmes d'équation linéaire en utilisant l'algorithme de réduction de ligne (élimination gaussienne). Le calculateur fournit la description de la solution étape par étape.

Le système d'équations linéaires :
\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases}
peut être résolu en utilisant l'élimination gaussienne avec l'aide de notre calculateur.

Dans l'élimination gaussienne, le système d'équations linéaires est représenté comme une matrice du système, ainsi la matrice contient les coefficients de l'équation a_{ij} et les termes constants b_i avec les dimensions [n:n+1] :
\begin{array}{|cccc|c|}  a_{11} &  a_{12} &  ... &  a_{1n} &  b_1\\  a_{21} &  a_{22} &  ... &  a_{2n} &  b_2\\  ... &  ... &  ... &  ... &  ...\\  a_{n1} &  a_{n2} &  ... &  a_{nn} &  b_n\\ \end{array}

PLANETCALC, Elimination gaussienne

Elimination gaussienne

Chiffres après la virgule décimale : 2
Nombre de solutions
 
Vecteur solution
 

Elimination gaussienne

La méthode a été nommée d'après Carl Friedrich Gauss, le mathématicien allemand de génie du 19ème siècle. Gauss n'a pas inventé la méthode lui-même. La méthode de réduction de ligne était connue des anciens mathématiciens chinois, elle était décrire dans les Neufs Chapitres de l'Art des Mathématiques, un livre chinois de mathématiques apparu au II siècle.

Elimination en avant

La première étape de l'élimination gaussienne est d'échelonner les lignes de la matrice obtenue. La partie inférieure gauche ne contient que des zéros, et toutes les lignes de zéro sont en-dessous de ligne sans zéro :
\begin{array}{|cccc|c|}  a_{11} &  a_{12} &  ... &  a_{1n} &  \beta_1\\  0 &  a_{22}  &  ... &  a_{2n} &  \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 &  0 &  0 & a_{nn} &  \beta_n\\ \end{array}

La matrice est réduite à sa forme grâce à des opérations élémentaires sur les lignes : intervertir deux lignes, multiplier une ligne par une constante, ajouter à une ligne un multiple scalaire d'une autre ligne.
Notre calculateur obtient la forme échelonné en utilisant une séquence de soustraction de lignesA_i, multipliées par {a_{ji}} des lignes inférieures A_j , multipliées par {a_{ii}}, où i - est le coefficient principal de la ligne (ligne pivot).
Il est important d'avoir un coefficient principal différent de zéro. S'il devient zéro alors la ligne est intervertie avec celle en-dessous qui n'a pas de coefficient zéro à la même position.

Substitution en arrière

Durant cette étape, les opérations élémentaires sur les lignes se poursuivent jusqu'à ce qu'une solution soit trouvée. Finalement, cela donne la matrice dans sa forme échelonnée réduite :
\begin{array}{|cccc|c|}  1 &  0 &  ... &  0 &  \beta_1\\  0 &  1 &  \vdots &  0 &  \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 &  0 &  0 & 1 &  \beta_n\\ \end{array} ,
.

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